Cours d'électromagnétisme :
L'électrodynamique relativiste
cours n°3
1 Le champ tenseur
D'après les cours 1 et 2 nous ne connaisons la significaton que de la composante A0, le potentiel scalaire F.
Nous allons donc explorer tout Aµ.
Dans le cas statique, E=-gradV. Cela signifie donc que Ex, Ey et Ez sont les composantes
(1,0), (2,0), (3,0) d'un tenseur de rang 2 ¶µAn. Les équaions Ek=¶kA0 ne son tvalables
que dans le cas statique. Il reste donc encore à trouver le lien entre le champ et le potentiel dans le cas dynamique.
E fait partie des composantes d'un tenseur de rang 2 noté Fµn appelé champ tenseur.
On considère un potentiel de charge q en mouvement dans une distribution de charge et de courant. On se place dans le référentiel où la particule est au repos.
Par définition, dans ce référentiel, la force est purement électrique. On définit le champ électrique comme la force par unité de charge dans le référentiel
où la particule est au repos1.
Le champ devant être vu comme les composantes (1,0), (2,0), (3,0) d'un tenseur de rang 2, t étant le temps propre :
Par analogie, on définit F'00 par dp'0/dt=qF'00.
Or, p'0=E/c=m.c pour une particule au repos Þdp'0/dt=dmc/dt=0 Þ F'00=0.
Dans le référentiel où la charge est au repos : p'n=(mc,0,0,0) et
| p'nF'µn= |
|
p'nF'µn=p'0F'µ 0=mcF'µ 0 |
pµdpµ/dt=q/mcpµpnFµn, or pµpµ=E2/c2-p2=m2c2 Þ pµdpµ/dt=0 :
Þ pµpnFµn=0
(4)
En différentiant cette équation par rapport à pa et pb on montre que cette équation n'est possible que si Fµn est antisymétrique :
Fµn+Fnµ=0
On sait donc comment les sources crééent les potentiels :
et comment le champ tenseur exerce une force :
Il manque encore la forme explicite du champ tenseur en fonction du potentiel, c'est à dire la généralisation de E=-ÑF.
Le seul point acquis précédemment2 suffit à leui seul à trouverune réponse uniqueà cette question. Il faut juste supposer
que le champ tenseur est linéair en fonction du potentiel, ce qui peut s'accepter ici comme un fait d'expérence ou comme une réponseau premir ordre.
Pour construire Fµn on a de disponible le quadri-vecteur ¶µ et le quadri-vecteur Aµ, sans oublier le cas statique
Ek=¶kA0.
On pose :
Fµn=¶µAn-¶nAµ
(7)
qui est donc la seul solution possible, les indices µ et n ne pouvant apparaître dans le même objet, ce qui donnerait une antisymétriqation nulle.
Il serait alors possible à priori de multiplier cette proposition par un scalair du type AaAa, ¶aAa, Aa¶a ou ¶a¶a.
Les trois premiers ne satisfont pas l'hypothèse de linéarité et le dernier est incompatible avec le cas statique. Ceci amène donc à a développer les termes du champ tenseur :
|
Fµn=
|
æ
ç
ç
ç
è |
|
| 0 |
... |
... |
... |
| ¶1A0-¶0A1 |
... |
... |
... |
| ¶2A0-¶0A2 |
... |
... |
... |
| ¶3A0-¶0A3 |
... |
... |
... |
|
|
ö
÷
÷
÷
ø |
=
|
æ
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è |
|
| 0 |
... |
... |
... |
|
... |
... |
... |
|
... |
... |
... |
|
... |
... |
... |
|
|
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø |
(8) |
B=ÑÙA
(10)
Le champ tenseur se récrit donc :
|
|
æ
ç
ç
ç
è |
|
| 0 |
-Ex |
-Ey |
-Ez |
| Ex |
0 |
-cBz |
-cBy |
| Ey |
cBz |
0 |
-cBx |
| Ez |
cBy |
cBx |
0 |
|
|
ö
÷
÷
÷
ø |
(11) |
C'est le champ magnétique B.
On ne pale donc plus de champ électrique ou de champ magnétique séparemment. Les deux champs se trouvent donc intrinsèquement liés dans le champ
tenseur.
- 1
- Les ' signifient dans le référentiel propre
- 2
- Fµn est antisymétique
- 3
- ÑÙA=rotA est un rotationnel