Cours d'électromagnétisme :
Lois générales de l'électromagnétisme

Cours n°5

1  Interprétation physique des équations de Maxwell

Les équations de Maxwell se présentent sous la forme de deux couples :

divB=0  (MF)
rotE=-
B
t
  (MF)
divE=
r
e0
  (MG)
rotB=µ0 æ
ç
ç
è		 j+e0
E
t
ö
÷
÷
ø		   (MA)
Le premier couple content les propriétés intrinsèques du champ. Le 2nd renseigne sur la façon dont les sources créent le champ.
On peut noter à postériori que la conservation de la charge est contenue dans ces équations.
En effet, Ñ.(ÑÙB)=0.
On applique la divergence à (MA) :
0=µ0(Ñ.j+e0
t
ÑE)
On utilise (MG) :
0=µ0(Ñj+e0
t
r
e0
Þ   Ñ.j+
r
t
=0
On considère S, une surface fermée quelconque et V, le volume intèrieur à cette surface. Le courant traversant S s'écrit :
iS(t)= ó
õó
õ
 


S
j.dS
La charge totale contenue dans V est donnée par : q(t)=òòòVr dV Si la charge est conservée, cela signifie que le courant sortant est dû à la variation de charge :
i(t)=-
dq
dt
soit :
ó
õó
õjdS=-
d
dt
ó
õó
õó
õ		 r dV=- ó
õó
õó
õ
r
t
dV
= ó
õó
õó
õÑ.j		 dV= ó
õó
õó
õ-
r
t
dV
Þ Ñj+
r
t
=0

1.1  Equation du flux (MF)

ó
õó
õó
õÑ.B		 = ó
õó
õBdS=0
B est à flux conservatif. Il n'existe pas de monopôle magnétique.

1.2  Equation de (MF)

ó
õ
 


Cf
E.dl = ó
õó
õ
 


SCf
(ÑÙE ).dS= ó
õó
õ
 


SCf
-
B
t
dS
Sur une surface fixe : -d/dtòòB.dS=-dFB/dt
Une variation du flux magnétique donne naissance à un champ électrique à circulation non conservative.
On verra que e=òCfEdl est la f.é.m.
e=-
df
dt
C'est l'induction.

1.3  Equation de (MG)

ó
õó
õE.dS		 = ó
õó
õó
õÑ		 dV= ó
õó
õó
õ
r
e0
dV=
1
e0
Qint
Qint est la charge QE à travers une surface. Ce théorème de Gauss est valable également dans les cas dépendant du temps.
Cela montre aussi qu'il n'y a pas d'accumulation de charges dans les conducteurs parcourus par un courant :
j=sE

sÑE+
r
t
=0 Þ s
r
e0
+
r
t
=0
1
r
r
t
+
s
e0
=0 Þ r=r0e
-
t
t
 
avec t=e0/s.
Dans un conducteur, e0/s» 10-19. Aux fréquences résiduelles, les conducteurs ne comportent pas de charges.

1.4  Equation de (MA)

ó
õ
 


Cf
B.dl = ó
õó
õ
 


SCf
(ÑÙB)dS = ó
õó
õ
 


SCf
µ0(j+e0
E
t
)dS
Dans lz a statique, / t=0.
ó
õ
 


Cf
B.dl =µ0 ó
õó
õj.dS=µ0Iint
C'est la théorème d'Ampère. La champ B tourbillonne autour qui l'a créé.
A la différence du théorème de Gauss, le théorème d'Ampère n'est valble que dans le ca statique. On note parfois dans le cas dynamique ÑÙB=µ0(j+jD) où jD=e0E/ t est appelé le courant de déplacement.
Ceci permet de réhabiliter le théorème d'Ampère en écrivant :
ó
õB.dl=(I+Ideplacement)µ0
En réalité, le courant de déplacement ne correspond ni à un courant ni à un déplacement.
On note que le rôle de jD dans (MA) est analogue au rôle de B/ t dans (MF). Autrement dit, dans le cas dynamique, on voit que le champ électrique et le champ magnétique sont indissociables.
Ce couplage est à l'origine d'un des plus importants phénomènes de l'électromagnétisme : la propagation.