Les lois de Snell-Descartes

Thomas Huault

Cours d'optique n°2

1  Changement de direction dans les milieux

Au passage d'une interface séparant deux milieux d'indices de réfraction distincts (dioptre), et sous une incidence quelconque différente de l'incidence normale, le rayon lumineux va changer de direction et se propager de sorte à former un angle à la normale au plan du dioptre différent de l'angle d'incidence du rayon lumineux par rapport à la normale.
Illustration de la réfraction 0

Les lois de Snell-Descartes vont exprimer mahématiquement la valeur de l'angle correspondant au changement de direction.
Ces lois furent tout d'abord trouvées au XIeme siècle par Al Haytam puis retrouvées par W. Snell en 1621 et enfin par René Descartes en 1637.

2  Différentiation du chemin optique

On peut écrire le vecteur de chemin optique rectiligne AB sous la forme AB=u.AB à condition que u soit le vecteur unitaire portée par le rayon dirigé de A vers B. En conséquence, le chemin optique s'exprime comme :
L(AB)=nAB=nuAB
On applique mathématiquement une variation infinitésimale aux extrémités A et B dA et dB. On écrit alor la variation du chemin optique :
dL(AB)=n d(u.AB)=n AB.du+n u.dAB=n AB u.du+n u.(dB-dA)
u étant un vecteur unitaire, u2=1 de même que d(u.u)=0. La variation de chemin optique s'écrit donc :
dL(AB)=n u.(dB-dA)
La variation de chemin optique induite par la variation infinitésimale des extrémités A et B est proportionnelle à la différence de l'amplitudes de ces variations.

3  Forme générale de la loi de Snell-Descartes

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Le chemin optique entre les points A, dans le milieu d'indice n1 et B, dans le milieu d'indice n2, s'exprime par :
L(AB)=n1AI+n2BI
On détermine la variation de chemin optique en appliquant le principe de Fermat :
d L=n1u1d I-n2u2d I=-d I(n2u2-n1u1)
où d I est la distance II' et u1  u2 les vecteurs unitaires portés par les rayons lumineux.
d L étant nul à ||d I||2 près, (n2u2-n1u1) est colinéaire au vecteur normal au dioptre N. En prenant un réel a, on écrit alors :
(n2u2-n1u1)=aN

4  Lois essentieles de l'optique géométrique

4.1  La réfraction

4.1.1  Plan incident et plan réfracté

Des loios générales de Snell-Descartes découle une loi fondamentale : "Le rayon incident et le rayon réfracté sont situés dans le même plan".

4.1.2  Angle incident-Angle réfracté

En multipliant la relation de Snell-Descartes par N, on fait apparaître les angles i1=(N,u1) et i2=(N,u2). La relation s'écrit alors :
n1sin[i1=n2sini2=A
où A désigne une constante.

4.2  Réflexion des rayons lumineux

4.2.1  Plan d'incidence et plan de réflexion

Pour les mêmes raison que la réfraction, le rayon réfléchi st contenu dans le plan d'incidence

4.2.2  Angle réfléchi

La multiplication des vecteur dans la relation de Snell-Descartes défini l'angle (N,u2)=i2 et de la même façon, l'angle i1. Si i2 est un rayon réfléchi, les sinus sont alors égaux et opposés, ce qui entraîne :
i1=-i2

5  Angle limite de réfraction

On distingue deux cas dans la réfraction par un dioptre découlant d'une condition sur le indces de réfraction des milieux. Le rapport des indices n1/n2 borne le sinus de l'angle réfracté. Il en résulte donc un angle de réfraction limite décrit par :
sinil=
n1
n2
ans le premier cas où le passage du dioptre s'effectue d'un milieu d'indice n1£ n2, le rayon est toujours transmis. Si l'angle d'incidence est de p/2, l'angle réfracté est donné par l'angle il.
Si la traversée du dioptre s'effectue d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent, l'angle d'incidence va alors être borné par l'angle de réfraction limite il. Au delà de cet angle, le rayon sera alors réfléchi. On parle de rélexion totale.

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